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（2014•株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．
题目详情
（2014•株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；
（2）由（1）可知△ACE≌△AFE，
∴AC=AF，CE=EF，
设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴BC=
=
=
m，
解法一：∵∠C=∠EFB=90°，
∴△EFB∽△ACB，
∴
=
，
∵CE=EF，
∴
=
=
∴CE=EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
|
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；
（2）由（1）可知△ACE≌△AFE，
∴AC=AF，CE=EF，
设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴BC=
| AB2−AC2 |
| 9m2−4m2 |
| 5 |
解法一：∵∠C=∠EFB=90°，
∴△EFB∽△ACB，
∴
| EF |
| AC |
| FB |
| BC |
∵CE=EF，
∴
| CE |
| AC |
| m | ||
|
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