如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．则下列结论中：①AF平分∠BAC；②AB=AE；③BH=HF；④DH=CF；⑤AC=AB+BH．正确结论的

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．则下列结论中：
①AF平分∠BAC；②AB=AE；③BH=HF；④DH=CF；⑤AC=AB+BH．
正确结论的序号是______．

Answer 1

∵BD⊥AC，AF⊥BE，
∴∠ADH=∠HGB=90°．
∵∠BHG=∠AHD，
∴∠HBG=∠HAD．
∵∠ABC=∠FGB=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∠GBF+∠AFB=90°．
∴∠GBF=∠BAF．
∵BE平分∠DBC，
∴∠GBF=∠HBG．
∴∠HAD=∠BAF．
即 AF平分∠BAC故①正确；
∵BG⊥AG，BG平分∠DBC，
∴BH=BF，
∵∠HBF=45°，
∴△BHF不是等边三角形，
∴BH≠HF，故③不正确；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
在△ABH和△AEG中，

∠AGB＝∠AGE＝90°

∠ABG＝∠AED

AG＝AG

，
∴△ABH≌△AEG，
∴AB=AE故②正确；
②∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∴AB=BC．
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=(1)/(2)AC．
过点D作KD∥FC交AF于K，
∴(KD)/(FC)＝(AD)/(AC)＝(1)/(2)．
∴FC=2KD，
∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°．
∴∠BFH=∠BHF．
∴∠BHF=∠DHK．
∴∠BFH=∠DHK．
∵KD∥BC，
∴∠DKH=∠BFH．
∴∠DKH=∠DHK．
∴KD=HD．
∴FC=2HD故④错误；
∵AB=AE，AC=AE+CE，
∴AC=AB+CE，
而CE≠BF，
∴AC≠AB+BF，
故⑤错误，
故答案为：①②．