已知等腰△ABC中，AB=AC，（1）若cos∠B=13，且△ABC的周长为24，求AB的长度；（2）若tan∠A=52，且BC=23，求AB的长度．

Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，

（1）若cos∠B=(1)/(3)，且△ABC的周长为24，求AB的长度；
（2）若tan∠A=(√(5))/(2)，且BC=2√(3)，求AB的长度．

Answer 1

（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴∠ADB=90°
∴在△ADC中，cos∠B=(BD)/(AB)=(1)/(3)，
设BD=k，AB=3k．
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=DC=k，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+AC+BC=24．
∴3k+3k+2k=24，即8k=24，
∴k=3
∴AB=9；
（2） 作BH⊥AC于点H，
∴∠AHB=90°
∴在△AHB中，tan∠A=(BH)/(AH)=(√(5))/(2)，
设BH=√(5)k，AH=2k．
在Rt△ABH中，AB=√(AH2+BH2)=3k．
∵AB=AC，
∴CH=AC-HC=k，
∵在△BHC中，BH=√(5)k，CH=k，BC=2√(3)，
又∵∠BHC=90°．
∴BH²+HC²=BC²，即5x²+x²=12
解得：x=√(2)，
∴AB=3√(2)．