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(2014•昆都仑区一模)如图,在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CE、CF、EF,有下列四个结论:①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠E
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(2014•昆都仑区一模)如图,在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CE、CF、EF,有下列四个结论:
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE.
其中正确的结论的个数是______个.
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE.
其中正确的结论的个数是______个.
▼优质解答
答案和解析
在▱ABCD中,∠ADC=∠ABC,AD=BC,CD=AB,
∵△ABE、△ADF都是等边三角形,
∴AD=DF,AB=EB,∠ADF=∠ABE=60°,
∴DF=BC,CD=BC,
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC,
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC,
∴∠CDF=∠EBC,
在△CDF和△EBC中,
,
∴△CDF≌△EBC(SAS),故①正确;
在▱ABCD中,∠DAB=180°-∠ADC,
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC,
∴∠CDF=∠EAF,故②正确;
同理可证△CDF≌△EAF,
∴EF=CF,
∵△CDF≌△EBC,
∴CE=CF,
∴EC=CF=EF,
∴△ECF是等边三角形,故③正确;
当CG⊥AE时,∵△ABE是等边三角形,
∴∠ABG=30°,
∴∠ABC=180°-30°=150°,
∵∠ABC=150°无法求出,故④错误;
综上所述,正确的结论有①②③,共3个.
故答案为:3.
∵△ABE、△ADF都是等边三角形,
∴AD=DF,AB=EB,∠ADF=∠ABE=60°,
∴DF=BC,CD=BC,
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC,
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC,
∴∠CDF=∠EBC,
在△CDF和△EBC中,
|
∴△CDF≌△EBC(SAS),故①正确;
在▱ABCD中,∠DAB=180°-∠ADC,
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC,
∴∠CDF=∠EAF,故②正确;
同理可证△CDF≌△EAF,
∴EF=CF,
∵△CDF≌△EBC,
∴CE=CF,
∴EC=CF=EF,
∴△ECF是等边三角形,故③正确;
当CG⊥AE时,∵△ABE是等边三角形,
∴∠ABG=30°,
∴∠ABC=180°-30°=150°,
∵∠ABC=150°无法求出,故④错误;
综上所述,正确的结论有①②③,共3个.
故答案为:3.
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