（2014•保定二模）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足ADDB=CEEA=12．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P

Question

（2014•保定二模）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足(AD)/(DB)=(CE)/(EA)=(1)/(2)．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，并使得平面A₁DE⊥平面BCED．
（1）求证：A₁D⊥EC；
（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA₁与平面A₁BD所成角的正切的最大值．

Answer 1

证明：（1）因为等边△ABC的边长为3，且(AD)/(DB)=(CE)/(EA)=(1)/(2)，
所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=√(12+22−2×1×2×cos60°)=√(3)．
因为AD²+DE²=AE²，
所以AD⊥DE．
折叠后有A₁D⊥DE，
因为平面A₁DE⊥平面BCED，又平面A₁DE∩平面BCED=DE，
A₁D⊂平面A₁DE，A₁D⊥DE，所以A₁D⊥平面BCED
故A₁D⊥EC．
（2）如图，作PH⊥BD于点H，连结A₁H、A₁P，
由（1）有A₁D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，
所以A₁D⊥PH，又A₁D∩BD=D，所以PH⊥平面A₁BD，
所以∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，
设PB=x（0≤x≤3），则BH=(x)/(2)，PH=(√(3)x)/(2)，DH=BD-BH=2-(x)/(2)
所以A₁H=√(DH2+A1D2)=√((x2−2x+5)/(4))
所以在Rt△PA₁H中，tan∠PA₁H=(PH)/(A1H)=(√(3)x)/(√(x2−8x+20))
①若x=0，则tan∠PA₁H=(PH)/(A1H)=(√(3)x)/(√(x2−8x+20))=0，
②若x≠0则tan∠PA₁H=(PH)/(A1H)=(√(3)x)/(√(x2−8x+20))=(√(3))/(√(1−(8)/(x)+(20)/(x2)))
令(1)/(x)=t（t≥(1)/(3)），y=20t²-8t+1
因为函数y=20t²-8t+1在t≥(1)/(3)上单调递增，所以y_min=20×(1)/(9)-(8)/(3)+1=(5)/(9)
所以tan∠PA₁H的最大值为(√(3))/(√((5)/(9)))=(3√(15))/(5)（此时点P与C重合）