设函数f(x)＝log4(4x+1)+ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Question

设函数f(x)＝log4(4x+1)+ax（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（x）=f（-x）恒成立，
则log4(4x+1)+ax＝log4(4−x+1)−ax，
∴2ax＝log4(4−x+1)/(4x+1)＝log4(1)/(4x)＝−x，
∴（2a+1）x=0恒成立，则2a+1=0，故a＝−(1)/(2)．
（Ⅱ）f(x)+f(−x)＝log4(4x+1)+ax+log4(4−x+1)−ax＝log4(4x+1)+log4(4−x+1)
=log4(4x+1)(4−x+1)＝log4(2+4x+4−x)≥log4(2+2√(4x×4−x))＝1．
当且仅当x=0时取等号，
∴mt+m≤1对任意t∈[-2，1]恒成立，
令h（t）=mt+m，
由

h(−2)＝−2m+m≤1

h(1)＝m+m≤1

，解得−1≤m≤(1)/(2)，
故实数m的取值范围是[−1，(1)/(2)]．