证明：z=|xy|在（0，0）处连续，偏导数存在，但不可微．

Question

证明：z=√(|xy|)在（0，0）处连续，偏导数存在，但不可微．

Answer 1

因为0≤√(|xy|)≤√((x2+y2)/(2))，利用夹逼定理可得：

lim

(x，y)→(0，0)

f(x，y)=

lim

(x，y)→(0，0)

√(|xy|)=0=f（0，0），
从而f（x，y）在（0，0）处连续．
又因为

lim

△x→0

(f(△x，0)−f(0，0))/(△x)＝0＝fx(0，0)，
同理，f_y（0，0）=0，
故f（x，y）在（0，0）处偏导数存在．
下面利用可微的定义来判断f（x，y）在（0，0）处是否可微．
因为

lim

△x→0

△y→0

(△z−[fx(0，0)△x+fy(0，0)△y])/(√((△x)2+(△y)2))＝

lim

△x→0

△y→0

(√(|△x||△y|))/(√((△x)2+(△y)2))不存在，
故f（x，y）在（0，0）处不可微．