对二元函数z=f（x，y），下列哪些说法正确（）A．在点（x，y）连续，则该点偏导数一定存在B．在点（x，y）偏导数存在，则该点一定连续C．在点（x，y）偏导数存在，则该点一定可微D

Question

对二元函数z=f（x，y），下列哪些说法正确（　　）

A．在点（x，y）连续，则该点偏导数一定存在
B．在点（x，y）偏导数存在，则该点一定连续
C．在点（x，y）偏导数存在，则该点一定可微
D．在点（x，y）可微，则该点偏导数一定存在

Answer 1

①选项A．连续，不能保证偏导数存在
设f(x，y)＝

(x2+y)sin((1)/(x2+y2))	，(x，y)≠(0，0)
0	，(x，y)＝(0，0)

，则f（x，y）在点（0，0）连续，但是
f′y(0，0)＝

lim

y→0

(f(0，y)−f(0，0))/(y)=

lim

y→0

(ysin(1)/(|y|))/(y)=

lim

y→0

sin(1)/(|y|)不存在
∴f（x，y）在点（0，0）对y的偏导数不存在
故A错误；
②选项B和C．偏导数存在，并不一定保证函数连续．如
f(x，y)＝

(xy)/(x2+y2)	，(x，y)≠(0，0)
0	，(x，y)＝(0，0)

，
由定义可以求出f′_x（0，0）=f′_y（0，0）=0，但

lim

x→0

y→0

f（x，y）不存在，
因而也就不连续，当然也就不可微了
故B、C错误；
③选项D．
故选：D．由可微，得△f=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=A△x+B△y+o（ρ）中，令△y=0
则有f（x+△x，y）-f（x，y）=A△x+o（|△x|），两端处于△x，并令△x→0，得

lim

△x→0

(f(x+△x，y)−f(x，y))/(△x)＝fx(x，y)，同理f_y（x，y）也存在．
即可微⇒偏导数存在
故D正确
故选：D．