)若F1F2为椭圆两个焦点,过F2的直线角圆PQ两点,且PF1垂直于PQ,|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为?

Question

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若F1F2为椭圆两个焦点,过F2的直线角圆PQ两点,且PF1垂直于PQ,|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为?

Answer 1

连接F1Q,则：由等腰直角△F1PQ得：
|F1Q|=√2|PF1|
由椭圆定义得：
|F1P|+|PF2|=2a；
|F1Q|+|QF2|=2a;
∴|PF2|=2a-|F1P|
又|F1P|+|PF2|+|F1Q|+|QF2|=4a
|F1P|=|PF2|+|QF2|
|F1Q|=√2|PF1|
∴（√2+2）|PF1|=4a
|PF1|=4a/（√2+2）=（4-2√2）a
|PF2|=2a-|F1P|=（2√2-2）a
由题意：|PF1|²+|PF2|²=|F1F2|²=（2c）²得：
【（4-2√2）a】²+【（2√2-2）a】²=（2c）²
【（2-√2）a】²+【（√2-1）a】²=（c）²
∴（c/a）²=9-6√2=（√6-√3）²
∴c/a=√6-√3