怎样在[0,1]上构造一个测度大于零的无处稠密的完备集G

Question

怎样在[0,1]上构造一个测度大于零的无处稠密的完备集G

Answer 1

通过在[0,1]中去掉可数个开区间得到G.
第1步：去掉 （3/8,5/8）,所去掉区间长度为1/4,
第2步：在所剩2个闭区间中各去掉一个开区间.使得两个所去掉的开区间的长度相等,长度之和为1/8.而且两个去掉的开区间的中点都是所在闭区间的中点.
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第n步：在所剩2^(n-1)个闭区间中各去掉一个开区间.使得所去掉的开区间的长度相等,长度之和为1/2^(n+1).而且2^(n-1)个去掉的开区间的中点都是所在闭区间的中点.
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设每次去掉的开区间的并为 Ui,i=1,.,n,...|Ui| = 1/2^(i+1)
设 U = Ui 对所有i的并.于是U 是稠密开集.并且|U| = 1/4 + 1/8 + ...=1/2
于是 G = [0,1] - U 为无处稠密的完备集G.且|G| = 1 - 1/2 = 1/2