已知直线l经过抛物线x^2=4y的焦点,且与抛物线交于A,B两点,点O为坐标原点.⑴证明:角AOB为钝角⑵若三角形AOB的面积为4,求直线l的方程

Question

已知直线l经过抛物线x^2=4y的焦点,且与抛物线交于A,B两点,点O为坐标原点.⑴证明:角AOB为钝角 ⑵若三角形AOB的面积为4,求直线l的方程

Answer 1

已知直线L经过抛物线x²=4y的焦点,且与抛物线交于A,B两点,点O为坐标原点.⑴证明:角AOB为钝角 ⑵若三角形AOB的面积为4,求直线l的方程.
证明：(1).抛物线参数：2p=4,p=2,p/2=1,焦点F(0,1)；
设L的方程为y=kx+1；代入抛物线方程得x²=4(kx+1),即x²-4kx-4=0；设A(x₁,y₁),
B(x₂,y₂),则x₁+x₂=4k,x₁x₂=-4；
y₁y₂=(kx₁+1)(kx₂+1)=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1=-4k²+4k²+1=1；
故cos∠AOB=OA•OB/[∣OA∣∣OB∣]=(x₁x₂+y₁y₂)/√[(x₁²+y₁²)(x₂²+y₂²)
=(-4+1)/√[(x₁²+y₁²)(x₂²+y₂²)=-3/√[(x₁²+y₁²)(x₂²+y₂²)