求证:两椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0,a^2x^2+b^2y^2-a^2b^2-a^2b^2=0的交点在以坐求证：两椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0,a^2x^2+b^2y^2-a^2b^2-a^2b^2=0的交点在以坐标原点为中心的圆周上,并求这个圆的方程

Question

求证:两椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0,a^2x^2+b^2y^2-a^2b^2-a^2b^2=0的交点在以坐
求证：两椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0,a^2x^2+b^2y^2-a^2b^2-a^2b^2=0的交点在以坐标原点为中心的圆周上,并求这个圆的方程

Answer 1

相减
(a²-b²)x²-(a²-b²)y²=0
椭圆则a≠b
约分
x²-y²=0
相加
(a²+b²)x²+(a²+b²)y²=2a²b²
x²+y²=2a²b²/(a²+b²)
所以x²=a²b²/(a²+b²)
y²=a²b²/(a²+b²)
所以4个交点横纵坐标都是±ab/√(a²+b²)
所以他们到圆心距离=√(x²+y²)=√2ab/√(a²+b²)
是个定值
所以在以坐标原点为中心的圆周上
圆是x²+y²=2a²b²/(a²+b²)