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已知a1=0,a(n)=2/[1+a(n-1)],求{a(n)}通项公式?
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已知a1=0 ,a(n)=2/[1+a(n-1)],求{a(n)}通项公式?
▼优质解答
答案和解析
典型的不动点法：
特征方程：x=2/(1+x)
=>x1=1,x2=-2
a[n]-1=2/(1+a[n-1])-1=(1-a[n-1])/(1+a[n-1])=-(a[n-1]-1)/(1+a[n-1])
a[n]+2=2/(1+a[n-1])+2=(4+2a[n-1])/(1+a[n-1])=2(2+a[n-1])/(1+a[n-1])
两式相除得到：
(a[n]+2)/(a[n]-1)=(-2)(a[n-1]+2)/(a[n-1]-1)
从而{(a[n]+2)/(a[n]-1)}是以(a[1]+2)/(a[1]-1)=-2为首项-2为公比的等比数列,从而(a[n]+2)/(a[n]-1)=(-2)^n
a[n]=(2+(-2)^n)/((-2)^n-1)
特征方程：x=2/(1+x)
=>x1=1,x2=-2
a[n]-1=2/(1+a[n-1])-1=(1-a[n-1])/(1+a[n-1])=-(a[n-1]-1)/(1+a[n-1])
a[n]+2=2/(1+a[n-1])+2=(4+2a[n-1])/(1+a[n-1])=2(2+a[n-1])/(1+a[n-1])
两式相除得到：
(a[n]+2)/(a[n]-1)=(-2)(a[n-1]+2)/(a[n-1]-1)
从而{(a[n]+2)/(a[n]-1)}是以(a[1]+2)/(a[1]-1)=-2为首项-2为公比的等比数列,从而(a[n]+2)/(a[n]-1)=(-2)^n
a[n]=(2+(-2)^n)/((-2)^n-1)
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