求一阶微分方程式S(x)=(x^4)/2*4+(x^6)/2*4*6+(x^8)2*4*6*8+.（1）求满足S(x)的一阶微分方程式（2）解上面的微分方程求出S(x)

Question

求一阶微分方程式
S(x)=(x^4)/2*4 +(x^6)/2*4*6 +(x^8)2*4*6*8+.
（1）求满足S(x)的一阶微分方程式
（2）解上面的微分方程求出S(x)

Answer 1

（1）∵S(x)=(x^4)/2*4+(x^6)/2*4*6+(x^8)2*4*6*8+.
∴S'(x)=(x^3)/2+(x^5)/2*4+(x^7)2*4*6+(x^9)/2*4*6*8.
=(x^3)/2+x[(x^4)/2*4+(x^6)/2*4*6+(x^8)2*4*6*8+.]
=(x^3)/2+xS(x)
故满足S(x)的一阶微分方程式是S'(x)=(x^3)/2+xS(x)
即S'(x)-xS(x)=(x^3)/2.(1)
（2）∵微分方程(1)的齐次方程是S'(x)-xS(x)=0
∴S'(x)=xS(x) ==>d[S(x)]/S(x)=xdx
==>ln│S(x)│=x²/2+ln│C│ (C是积分常数)
==>S(x)=Ce^(x²/2)
∴齐次方程的通解是S(x)=Ce^(x²/2) (C是积分常数)
于是,设微分方程(1)的通解为S(x)=C(x)e^(x²/2) (C(x)表示关于x的函数)
∵S'(x)=C'(x)e^(x²/2)+xC(x)e^(x²/2)
代入方程(1)整理得C'(x)=(x^3/2)e^(-x²/2)
∴C(x)=∫(x^3/2)e^(-x²/2)dx
=∫(x²/2)e^(-x²/2)d(x²/2)
=(-x²/2)e^(-x²/2)+∫e^(-x²/2)d(x²/2)
=(-x²/2)e^(-x²/2)-e^(-x²/2)+C (C是积分常数)
∴S(x)=[(-x²/2)e^(-x²/2)-e^(-x²/2)+C]e^(x²/2)
=Ce^(x²/2)-x²/2-1
故微分方程(1)的通解是S(x)=Ce^(x²/2)-x²/2-1 (C是积分常数)