一阶微分方程tx'=x-t*exp(x/t)我用y=t/x带入之后就得出ty'=y-e^y然后就卡了!难道不是这么换元的!

Question

一阶微分方程
tx'=x-t*exp(x/t)
我用y=t/x带入之后就得出
ty'=y-e^y
然后就卡了!
难道不是这么换元的!

Answer 1

你说的是y=x/t吧
x=t*y(t)
对t求导需用积法则
x'= t'y+ty'
= y+ty'
原方程变为
t(y+ty')=ty-te^y
t^2y'=-te^y
e^(-y)dy=-dt/t
-e^(-y)=-lnt+C'
e^(-y)=C+ln|t|
-y=ln|C+ln|t||
-x/t=ln|C+ln|t||
x=-t*ln|C+ln|t||