已知数列{an}中,a1=1,a2=1\4,且a(n+1)=an(n-1)\(n-an),求数列an的通项公式速求

Question

已知数列{an}中,a1=1,a2=1\4,且a(n+1)=an(n-1)\(n-an),求数列an的通项公式 速求

Answer 1

n≥2时,
a(n+1)=(n-1)an/(n -an)
1/a(n+1)=(n-an)/[(n-1)an]=n/[(n-1)an] -1/(n-1)
等式两边同除以n
1/[na(n+1)]=1/[(n-1)an]-1/[n(n-1)]=1/[(n-1)an]-[1/(n-1)-1/n]
(1/n)[1/a(n+1)-1]=[1/(n-1)][1/an -1]
[1/(2-1)](1/a2 -1)=4-1=3
数列{[1/(n-1)[1/an -1]]}从第2项开始,每一项都等于3
[1/(n-1)][1/an -1]=3
1/an =3n-2
an=1/(3n-2)
n=1时,a1=1/(3-2)=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=1/(3n-2)