定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，且a≠0）．（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数

Question

定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有f((x1+x2)/(2))≤(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵二次函数f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈R，则f((x1+x2)/(2))−(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]=a（(x1+x2)/(2)）²+(x1+x2)/(2)-(1)/(2)（a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2）=-(1)/(2)a(x1−x2)2
∵a＞0，(x1−x2)2≥0，∴(1)/(2)a(x1−x2)2≥0
∴f((x1+x2)/(2))−(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]≤0
∴f((x1+x2)/(2))≤(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]
∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，则有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0时，则a∈R恒成立，
（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥-(1)/(x)-(1)/(x2)且a≤-(1)/(x)+(1)/(x2)
∴a≥-(1)/(x)-(1)/(<相关问答小明在实验中提出这样的问题：凹透镜会成什么样的像？函数y=x3+x-1的拐点为，凹区间为．阅读《“凹”与“凸”的启示》回答问题。①初学写字时如图所示的透镜中，凹透镜是（只填番号）；凹透镜对光阅读短文，回答问题。①于土墙凹凸处，花台小草丛杂处下列器材或工具与用途之间不对应的是（）A.凹透镜-凹的周长一个空的金属小瓶，瓶口扎上橡皮膜，竖直地浸入水中，（2010•沈阳）如图甲所示，凹面镜对光线有会聚作讨论y=x3-6x2+9x-4的单调性、极值点、凹下列作图中，错误的是（）A.凹透镜对光的作用B.电贾平凹小传贾平凹姓贾，名平凹，无字无号；娘呼“平娃首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)