设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当x>0时，f（x）是增函数；②f（x）的图象关于（0，c）对称；③当b≠0时，方程f（x）=0必有三个实数根；④当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个

Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①当x>0时，f（x）是增函数；
②f（x）的图象关于（0，c）对称；
③当b≠0时，方程f（x）=0必有三个实数根；
④当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根．
其中正确的命题是___（填序号）

Answer 1

f（x）=x|x|+bx+c=

-x2+bx+c，	x≤0
x2+bx+c，	x>0

，
①当x>0时，f（x）=x²+bx+c的图象是开口向上的抛物线，当-(b)/(2)≤0时f（x）才是增函数，故不正确；
②由f（x）的解析式可知c=0时，f（x）=-f（-x），其图象关于原点对称，
∵f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，
∴f（x）的图象关于（0，c）对称，故正确；
③当b≠0时，令b=1、c=0，则方程f（x）=0，
即x|x|+x=0，解得：x=0，故不正确；
④当b=0时，方程f（x）=0，
即x|x|+c=0，
（i）若c<0，
当x≤0时，即x²=c，此时无解；
当x>0时，即x²=-c，此时x=-√(-c)；
（ii）若c≥0，
当x≤0时，即x²=c，此时x=-√(c)；
当x>0时，即x²=-c，此时无解；
综上所述，当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根，正确；
故答案为：②④．

-x2+bx+c，	x≤0
x2+bx+c，	x>0

-x2+bx+c，	x≤0
x2+bx+c，	x>0

-x2+bx+c，	x≤0
x2+bx+c，	x>0

-x2+bx+c，	x≤0
x2+bx+c，	x>0

-x2+bx+c，	x≤0
x2+bx+c，	x>0

-x2+bx+c，x≤0x2+bx+c，x>0-x2+bx+c，x≤0-x2+bx+c，-x2+bx+c，2+bx+c，x≤0x≤0x2+bx+c，x>0x2+bx+c，x2+bx+c，2+bx+c，x>0x>0，
①当x>0时，f（x）=x²2+bx+c的图象是开口向上的抛物线，当-(b)/(2)≤0时f（x）才是增函数，故不正确；
②由f（x）的解析式可知c=0时，f（x）=-f（-x），其图象关于原点对称，
∵f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，
∴f（x）的图象关于（0，c）对称，故正确；
③当b≠0时，令b=1、c=0，则方程f（x）=0，
即x|x|+x=0，解得：x=0，故不正确；
④当b=0时，方程f（x）=0，
即x|x|+c=0，
（i）若c<0，
当x≤0时，即x²=c，此时无解；
当x>0时，即x²=-c，此时x=-√(-c)；
（ii）若c≥0，
当x≤0时，即x²=c，此时x=-√(c)；
当x>0时，即x²=-c，此时无解；
综上所述，当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根，正确；
故答案为：②④． (b)/(2)b2bbb222≤0时f（x）才是增函数，故不正确；
②由f（x）的解析式可知c=0时，f（x）=-f（-x），其图象关于原点对称，
∵f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，
∴f（x）的图象关于（0，c）对称，故正确；
③当b≠0时，令b=1、c=0，则方程f（x）=0，
即x|x|+x=0，解得：x=0，故不正确；
④当b=0时，方程f（x）=0，
即x|x|+c=0，
（i）若c<0，
当x≤0时，即x²2=c，此时无解；
当x>0时，即x²2=-c，此时x=-√(-c)；
（ii）若c≥0，
当x≤0时，即x²=c，此时x=-√(c)；
当x>0时，即x²=-c，此时无解；
综上所述，当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根，正确；
故答案为：②④． √(-c)

-c

-c

-c-c；
（ii）若c≥0，
当x≤0时，即x²2=c，此时x=-√(c)；
当x>0时，即x²=-c，此时无解；
综上所述，当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根，正确；
故答案为：②④． √(c)

c

c

cc；
当x>0时，即x²2=-c，此时无解；
综上所述，当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根，正确；
故答案为：②④．