二元函数f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充要条件是（）A．lim(x，y)→(0，0)[f(x，y)−f(0，0)]＝0B．limx→0f(x，0)−f(0，0)x=0，且limy→0f(0，y)−f(0，0)y=0C．lim(x，y)→(0，0)f(x，y)−f(0，0)x2

Question

二元函数f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充要条件是（　　）

A．

lim

(x，y)→(0，0)

[f(x，y)−f(0，0)]＝0
B．

lim

x→0

(f(x，0)−f(0，0))/(x)=0，且

lim

y→0

(f(0，y)−f(0，0))/(y)=0
C．

lim

(x，y)→(0，0)

(f(x，y)−f(0，0))/(√(x2+y2))＝0
D．

lim

x→0

[

f

′ x

(x，0)−

f

′ x

(0，0)]=0，且

lim

y→0

[

f

′ y

(0，y)−

f

′ y

(0，0)]=0

Answer 1

（1）选项A.

lim

(x，y)→(0，0)

[f(x，y)−f(0，0)]＝0是指函数f（x，y）在点（0，0）连续．二元函数可微分⇒连续，但反之不成立．故选项A错误；
（2）选项B.

lim

x→0

(f(x，0)−f(0，0))/(x)＝fx′(0，0)＝0，且

lim

y→0

(f(0，y)−f(0，0))/(y)＝fy′(0，0)＝0，二元函数可微分⇒偏导数存在，但反之不成立．故选项B错误；
（3）选项D.

lim

x→0

[

f

′ x

(x，0)−

f

′ x

(0，0)]=0，且

lim

y→0

[

f

′ y

(0，y)−

f

′ y

(0，0)]=0说明一阶偏导数f_x′（0，0）和f_y'（0，0）存在，但不能推导出两个一阶偏导函数f_x′（0，0）和f_y'（0，0）在点（0，0）处连续．故选项D错误．
所以（A）（B）（D）均不能保证f（x，y）在点（0，0）处可微；
（4）选项C．由

lim

(x，y)→(0，0)

(f(x，y)−f(0，0))/(√(x2+y2))＝0，可知f_x′（0，0）=0和f_y'（0，0）=0
∴([f(△x，△y)−f(0，0)]−[fx′(0，0)△x+fy′(0，0)△y])/(√((△x)2+(△y)2))＝0
∴由可微的定义，知f（x，y）在点（0，0）可微．
故应选：C．