荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：p=14t+16(1≤t≤40，t为整数)-12t+46

Question

荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：
p=

(1)/(4)t+16(1≤t≤40，t为整数)

-(1)/(2)t+46(41≤t≤80，t为整数)

，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：

（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m<7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

Answer 1

（1）设解析式为y=kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：

k+b=198

80k+b=40

，
解得：

k=-2

b=200

，
∴y=-2t+200（1≤x≤80，t为整数）；

（2）设日销售利润为w，则w=（p-6）y，
①当1≤t≤40时，w=（(1)/(4)t+16-6）（-2t+200）=-(1)/(2)（t-30）²+2450，
∴当t=30时，w_最大=2450；
②当41≤t≤80时，w=（-(1)/(2)t+46-6）（-2t+200）=（t-90）²-100，
∴当t=41时，w_最大=2301，
∵2450>2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．

（3）由（2）得：当1≤t≤40时，
w=-(1)/(2)（t-30）²+2450，
令w=2400，即-(1)/(2)（t-30）²+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函数w=-(1)/(2)（t-30）²+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，

而当41≤t≤80时，w最大=2301<2400，
∴t的取值范围是20≤t≤40，
∴共有21天符合条件．


（4）设日销售利润为w，根据题意，得：
w=（(1)/(4)t+16-6-m）（-2t+200）=-(1)/(2)t²+（30+2m）t+2000-200m，
其函数图象的对称轴为t=2m+30，
∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m<7，
∴5≤m<7．