若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“

Question

若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：
①常数函数是“关于t函数”；
②正比例函数必是一个“关于t函数”；
③“关于2函数”至少有一个零点；
④f（x）=( (1)/(2))x是一个“关于t函数”．
其中正确结论的序号是___．

Answer 1

①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，
即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），
∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，
②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf（x），
即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；
③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），
当函数f（x）不恒为0时，有(f(2+x))/(f(x))=2>0，
故f（x+2）与f（x）同号．
∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，
④对于f（x）=（(1)/(2)）^x设存在t使得f（t+x）=tf（x），
即存在t使得（(1)/(2)）^t+x=t（(1)/(2)）^x，也就是存在t使得（(1)/(2)）^t（(1)/(2)）^x=t（(1)/(2)）^x，
也就是存在t使得（(1)/(2)）^t=t，此方程有解，故④正确．
故正确是①④，
故答案为①④．