Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0(二次项系数不全为0）表示什么图形

Question

Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0(二次项系数不全为0）表示什么图形

Answer 1

椭球面
二次曲面方程不是推导出来的（除了几个旋转曲面外,见【附注】）
二次曲面实际上是先有方程,再研究其图形的.
根据二次方程 ax^2+by^2+cz^2+px+qy+rz+C=0 进行讨论,
对于一次项系数 p,若与它对应的二次项系数 a≠0,则可以通过平移消去 a.对于一次项系数q及r也一样.
二次项中一般还有交叉项xy,yz,zx项的,由于在线性代数中可以通过二次型的正交变换消去,所以在高等数学里一开始就没有讨论.
所以要讨论的标准型,除了柱面方程外,实际上只有
【一】ax^2+by^2+cz^2+C=0,
①C≠0,包括椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面；
②C=0,包括各类锥面；
【二】ax^2+by^2+rz+C=0,
包括椭圆抛物面,双曲抛物面（马鞍面是外号,不是学名）.
其形状是通过截面的截口痕迹（截痕法）来讨论.
【附注】①到两个定点距离之和为定值的空间点的轨迹是旋转椭球面；
②到两个定点距离之差为定值的空间点的轨迹是旋转双叶双曲面；
③到定点和给定平面距离相等的空间点的轨迹是旋转抛物面.
在给出数据后,利用距离公式是很容易推导的.