若一个数列的奇子数列和偶子数列均收敛于a,那么这个数列收敛于a

Question

若一个数列的奇子数列和偶子数列均收敛于a,那么这个数列收敛于a

Answer 1

是的.
用极限的定义证明：
对任意ε＞0,存在K1∈N使得k＞K1时总有│x(2k-1)-a│＜ε
对任意ε＞0,存在K2∈N使得k＞K2时总有│x(2k)-a│＜ε
取N=max{2K1-,2K2},于是对任意ε＞0,存在自然数N使得n＞N时总有
│x(n)-a│＜ε
于是Xn的极限是a
(2k-1 和 2k 都是数列的下标,也就是这个数列的奇数列的极限是a,偶数列的极限是a)