设α1，α2，β1，β2都是3维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关（1）证明：存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出；（2）当α1＝121，α2＝253，β1＝23−1

Question

设α₁，α₂，β₁，β₂都是3维向量，且α₁，α₂线性无关，β₁，β₂线性无关
（1）证明：存在非零向量γ，使得γ既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出；
（2）当α1＝

1

2

1

，α2＝

2

5

3

，β1＝

2

3

−1

，β2＝

−1

0

3

时，求出所有即可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出的向量．

Answer 1

（1）由于α₁，α₂，β₁，β₂都是3维向量，向量的个数时4
因此，它们线性相关，即存在不全为零的实数k₁、k₂，l₁、l₂使得
k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0
∴k₁α₁+k₂α₂=-（l₁β₁+l₂β₂）
其中实数k₁、k₂，l₁、l₂不全为零
∴存在非零向量γ，使得γ=k₁α₁+k₂α₂=-（l₁β₁+l₂β₂）
这样γ既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出
（2）由（1）令γ=k₁α₁+k₂α₂=-（l₁β₁+l₂β₂），即
k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0
而（α₁，α₂，β₁，β₂）=

1	2	2	−1
2	5	3	0
1	3	−1	3

1	2	2	1
0	1	−1	2
0	1	−3	4

1	2	2	1
0	1	−1	2
0	0	−2	2

1	0	0	−1
0	1	0	1
0	0	1	−1

∴解得：(k1，k2，l1，l2)T=k（1，-1，1，1）^T
∴γ＝kα1−kα2＝−k(1，3，2)T，k为任意实数．