高等代数中的“全体线性变换”是什么意思?比如n维线性变换空间V的全体线性变换是n^2维.这又是为什么?

Question

高等代数中的“全体线性变换”是什么意思?比如n维线性变换空间V的全体线性变换是n^2维.这又是为什么?

Answer 1

线性变换是一个线性空间到自身的映射.
在一个线性空间V里可以定义无数个线性变换,那么所有这些线性变换构成一个集合L(V).
这个集合里的元素（即向量）就是这些线性变换.
可以证明这个集合L(V)对于线性变换的加法以及数与线性变换的乘法来说构成一个线性空间.
（因为线性变换的和还是线性变换,数与线性变换的乘积还是线性变换,即线性变换对加法和数乘封闭）,记为L(V).
而如果定义一个从L(V)到n阶矩阵构成的空间Pn*n的映射,将每一个线性变换都与它在某一组基下.的矩阵对应,则可以证明这个映射是同构映射.即V上的全部线性变换构成的空间L(V)与矩阵空间Pn*n同构.
同构的空间有相同的维数.而矩阵空间Pn*n是n^2维的,故n维线性空间V的全体线性变换构成的空间L(V)也是n^2维的.