设A、B为n维线性空间V的两个线性变换,A^2=A,B^2=B,证A与B有相同值域的充分必要条件是AB=B,BA=A

Question

设A、B为n维线性空间V的两个线性变换,A^2=A,B^2=B,证A与B有相同值域的充分必要条件是AB=B,BA=A

Answer 1

A^2=A,《==》（E-A）A=0《==》r(E-A)=n-r(A)==》ker（E-A）=R（A）.
B^2=B《==》（E-B）B=0

A与B有相同值域==》列空间R(A)=R(B)==》AX=B有解
==》AB=A(AX)=AX=B,同理BA=A

AB=B《==》（E-A）B=0 ==》R（B）包含于Ker（E-A）==》r（B）=r(A)
===》 r（B）=r(A)==》
dim R(A)= r（B）=r(A)=dim Ker（E-A）
==》R（B）=Ker（E-A）=R(A)