如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为"神秘数".如:4=22-02,12=42-22,20=62-42因此4,12,20都是“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗?为什么?（2）设两个连续

Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为"神秘数".如:4=22-02,12=42-22,20=62-42
因此4,12,20都是“神秘数”
（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗?为什么?
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数）,由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗?为什么?
4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²

Answer 1

（1）设这两个连续偶数分别为2m,2m+2 （其中m取正整数）,
则有28=(2m+2)²-(2m)²
解得m=3
于是28=8²-6²
所以28是神秘数
同理可设2012=(2m+2)²-(2m)²
化简得：2m=502
所以2012=504²-502²
所以2012是神秘数
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数）,
则(2k+2)²-(2k)²=4(2k+1)
所以由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数（因为4(2k+1)是4的倍数）
（3）设两个连续奇数分别是2k+1,2k-1 (k取正整数)
设两个连续偶数分别为2m,2m+2 （m取正整数）,
若（2k+1)²-(2k-1)²=(2m+2)²-(2m)²
化简得：8k=4(2m+1)
即2k=2m+1
即k-m=1/2
由于k,m都是正整数,这个式子显然不成立
所以两个连续奇数的平方差不是神秘数