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设A,B分别是m*n,n*s,且A与AB的秩满足r(A)=r(B).证明：存在s*n矩阵C,使得A=ABC求大师给出详细的证明过程
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设A,B分别是m*n,n*s,且A与AB的秩满足r(A)=r(B).证明：存在s*n矩阵C,使得A=ABC
求大师给出详细的证明过程
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答案和解析
知识点:A的列向量可由B的列向量线性表示的充要条件是存在矩阵K满足A=BK.
证:显然AB的列向量可由A的列向量线性表示
又因为 r(A)=r(AB)
所以 A,AB的列向量生成相同的r维向量空间
所以 A的列向量可由AB的列向量线性表示
所以存在矩阵C满足 A=(AB)C=ABC.
证:显然AB的列向量可由A的列向量线性表示
又因为 r(A)=r(AB)
所以 A,AB的列向量生成相同的r维向量空间
所以 A的列向量可由AB的列向量线性表示
所以存在矩阵C满足 A=(AB)C=ABC.
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