求向量组α1=（2，1，4，3），α2=（-1，1，-6，6），α3=（-1，-2，2，-9），α4=（1，1，-2，7），α5=（2，4，4，9）的极大线性无关组与秩，并将其余向量用极大无关组线性表示．

Question

求向量组α₁=（2，1，4，3），α₂=（-1，1，-6，6），α₃=（-1，-2，2，-9），α₄=（1，1，-2，7），α₅=（2，4，4，9）的极大线性无关组与秩，并将其余向量用极大无关组线性表示．

Answer 1

(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=

2	−1	−1	1	2
1	1	−2	1	4
4	−6	2	−2	4
3	6	−9	7	9

→

0	−3	3	−1	−6
1	1	−2	1	4
0	−10	10	−6	−12
0	3	−3	4	−3

→

1	1	−2	1	4
0	3	−3	1	6
0	30	−30	18	36
0	0	0	3	−9

→

1	1	−2	1	4
0	3	−3	1	6
0	0	0	8	−24
0	0	0	1	−3

→

1	1	−2	1	4
0	3	−3	1	6
0	0	0	1	−3
0	0	0	0	0

→

1	1	−2	0	7
0	3	−3	0	9
0	0	0	1	−3
0	0	0	0	0

→

1	0	−1	0	4
0	1	−1	0	3
0	0	0	1	−3
0	0	0	0	0

．
所以，R（α₁，α₂，α₃，α₄，α₅）=R(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=3．
由于上述最简形矩阵的非零行的非零首元在1，2，4列，
所以，α1T，α2T，α4T是向量组α1T，α2T，α3T，α4T，α5T的一个最大无关组．
根据矩阵初等行变换的性质，我们知道矩阵(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)和上述最简形矩阵通解，
所以，α3T＝−α1T−α2T，α5T＝4α1T+3α2T−3α4T．
由转置向量的性质可知：
向量组α₁，α₂，α₃，α₄，α₅的极大线性无关组为α₁，α₂，α₄，且有α₃=-α₁-α₂，α₅=4α₁+3α₂-3α₄．