已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为43，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．

Question

已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4√(3)，半径小于5．
（1）求直线PQ与圆C的方程；
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．

Answer 1

（1）直线PQ的方程为y-3=(3+2)/(−1−4)×（x+1）
即直线PQ的方程为x+y-2=0，
C在PQ的中垂线y-(3−2)/(2)=1×（x-(4−1)/(2)）
即y=x-1上，
设C（n，n-1），则r²=|CQ|²=（n+1）²+（n-4）²，
由题意，有r²=（2√(3)）²+|n|²，
∴n²+12=2n²-6n+17，
∴n=1或5（舍去），r²=13或37（舍去），
∴圆C的方程为（x-1）²+y²=13．
（2）设直线l的方程为x+y+m=0，
由

x+y+m＝0

(x−1)2+y2＝13

，
得2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=1-m，x₁x₂=(m2−12)/(2)，
∵∠AOB=90°，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，整理得m²+m-12=0，
∴m=3或-4（均满足△＞0），
∴l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0．