已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25,直线l：（2m+1）x+9m+10y-7m-4=0.1.求证：直线l恒过定点.2.判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度.已知圆C：（x-1）2+

Question

已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25,直线l：（2m+1）x+9m+10y-7m-4=0.
1.求证：直线l恒过定点.
2.判断直线 l被圆C截得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度.
已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0

Answer 1

1、
2mx+x+(my+1)y-7m-4=0
(2x+y-7)m+(x+y-4)=0
当两个括号里都是0时,等式一定成立
2x+y-7=0
x+y-4=0
x=3,y=1
所以l恒过定点(3,1)
2、
设定点是A(3,1)
弦最长则过圆心C(1,2),最短就是垂直AC
AC斜率是-1/2
所以垂直AC斜率是2
所以-(2m+1)/(m+1)=2
-2m-1=2m+2
m=-3/4
直线是2x-y-5=0
所以弦心距d=|2-2-5|/√5=√5,半径5
所以弦长=2√(r²-d²)=4√5