如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，l是过点C的任意一条直线，过A作AD⊥l于D，过B作BE⊥l于E．（1）求证：△ACD≌△ACD；（2）如图②延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰Rt△FCG，∠FCG=90°

Question

如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，l是过点C的任意一条直线，过A作AD⊥l于D，过B作BE⊥l于E．
（1）求证：△ACD≌△ACD；
（2）如图②延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰Rt△FCG，∠FCG=90°，连接AG交l于H．求证：BF=2CH．
（3）在（2）的条件下，若AD=12，BE=15，BC=13，请直接写出点G到直线AC的距离．

Answer 1

（1）证明：如图①中，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB

∠DAC=∠ECB

AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）如图②中，作AM∥CG交EH于M，连接GM．


∵∠MAC+∠ACG=180°，∠ACG+∠BCF=180°，
∴∠MAC=∠BCF，
∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACM=∠CBF，
在△ACM和△CBF中，

∠MAC=∠BCF

AC=BC

∠ACM=∠CBF

，
∴△MAC≌△CBF，
∴CM=BF，AM=CF=CG，∵AM∥CG，
∴四边形AMGC是平行四边形，
∴MH=HC，
∴BF=CM=2CH．

（3）∵△MAC≌△CBF，
∴CM=BF=15，
∵AC=BC=13，
∴S_{四边形AMCG}=2•S_△AMC=AC•h（h是点G到AC的距离），
∴2×(1)/(2)×15×12=13h，
∴h=(180)/(13)