矩形ABCD中，边长AB=4，边BC=2，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大值为（）A.1B.12C.14D.2

Question

矩形ABCD中，边长AB=4，边BC=2，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大值为（　　）

A. 1

B.

(1)/(2)

C.

(1)/(4)

D. 2

Answer 1

设CN=y，CM=x，则BM=2-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AMN=90°，
∴∠BAM+∠AMB=∠NMC+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴△ABM∽△MCN，
∴(AB)/(CM)=(BM)/(CN)，
即(4)/(x)=(2-x)/(y)，
∴y=-(1)/(4)x²+(1)/(2)x，
∵a=-(1)/(4)<0，
∴y有最大值，y_最大=(1)/(4)，
∴CN的最大值=(1)/(4)．
故选C．