一道超难的椭圆题椭圆焦点在x轴上,P和Q是椭圆上两个动点.P在第一象限,Q在第二象限.且PO垂直QO,O是坐标原点.直线PQ与某个定圆相切吗?若是,求该圆方程.若不是,说明理由.

Question

一道超难的椭圆题
椭圆焦点在x轴上,P和Q是椭圆上两个动点.P在第一象限,Q在第二象限.且PO垂直QO,O是坐标原点.直线PQ与某个定圆相切吗?若是,求该圆方程.若不是,说明理由.

Answer 1

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
是与定圆x^2+y^2=a^2b^2/(a^2+b^2)相切的.
设PO所在直线y=kx,
那么QO所在直线为y=-x/k
把PO与椭圆方程联立解得P点的横坐标x0满足x0^2=a^2b^2/(b^2+a^2k^2)
所以PO的长满足PO^2=(1+k^2)x0^2=(1+k^2)a^2b^2/(b^2+a^2k^2)
把k换成-1/k就求出了QO^2
然后PQ^2=PO^2+QO^2
然后根据等面积法,O点到直线PQ的距离d满足
d*PQ=PO*QO
所以求出d=PO*QO/PQ
d^2=PO^2*QO^2 / PQ^2=PO^2*QO^2 /(PO^2+QO^2)=a^2b^2/(a^2+b^2)
所以PQ到点O的距离是个定值.所以与圆x^2+y^2=a^2b^2/(a^2+b^2)相切