已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,且过A(0,1)A为椭圆在y轴的顶点过点A作两条相互垂直的直线分别交椭圆于点M,N,求证,直线MN恒过定点p(0,-3/5)

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,且过A(0,1)【A为椭圆在y轴的顶点】
过点A作两条相互垂直的直线分别交椭圆于点M,N,求证,直线MN恒过定点p(0,-3/5)

Answer 1

第一个问题：
∵椭圆过点（0,1/2）,∴（1/2）^2/b^2＝1,∴b^2＝1/4.
∵e＝c/a＝√3/4,∴c^2/a^2＝3/16,∴16c^2＝3a^2,∴16（a^2－b^2）＝3a^2,
∴a^2＝16b^2/13＝4/13.
∴满足条件的椭圆方程是：x^2/（4/13）＋y^2/（1/4）＝1.
第二个问题：
联立：x^2/（4/13）＋y^2/（1/4）＝1、y＝kx＋1,消去y,得：
x^2/（4/13）＋（kx＋1）^2/（1/4）＝1,∴13x^2/4＋4（kx＋1）^2＝1,
∴13x^2＋16（k^2x^2＋2kx＋1）＝4,∴（13＋16k^2）x^2＋32kx＋12＝0.
∵x^2/（4/13）＋y^2/（1/4）＝1、y＝kx＋1只有一个交点,
∴（13＋16k^2）x^2＋32kx＋12＝0有重根,∴（32k）^2－4×12（13＋16k^2）＝0,
∴（8k）^2－3（13＋16k^2）＝0,∴64k^2－39－48k^2＝0,∴16k^2＝39,∴k^2＝39/16,
∴k＝√39/4,或k＝－√39/4.
∴满足条件的k的值是√39/4,或－√39/4.
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