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若F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2的左,右焦点.P是以F1,F2为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1,求椭圆的离心率
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若F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2的左,右焦点.P是以F1,F2为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1,求椭圆的离心率
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答案和解析
直径所对的圆周角是直角,所以三角形PF1F2是直角三角形
又∠PF1F2=5∠PF2F1
所以,∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°
PF1 +PF2=F1F2*sin75°+F1F2*sin15°=2c(sin75°+sin15°)=2a
e=c/a=1/(sin75°+sin15°)=1/(2sin45°cos30°)=√6 /3
又∠PF1F2=5∠PF2F1
所以,∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°
PF1 +PF2=F1F2*sin75°+F1F2*sin15°=2c(sin75°+sin15°)=2a
e=c/a=1/(sin75°+sin15°)=1/(2sin45°cos30°)=√6 /3
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