已知抛物线C1：y=ax2（a>0）的焦点F也是椭圆C2：y24+x2b2=1（b>0）的一个焦点，点M，P（32，1）分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|+|MF|

Question

已知抛物线C₁：y=ax²（a>0）的焦点F也是椭圆C₂： (y2)/(4)+ (x2)/(b2)=1（b>0）的一个焦点，点M，P（ (3)/(2)，1）分别为曲线C₁，C₂上的点，则|MP|+|MF|的最小值为___．

Answer 1

P（(3)/(2)，1）代入椭圆C₂：(y2)/(4)+(x2)/(b2)=1，可得(1)/(4)+(9)/(4b2)=1，∴b=√(3)，
∴焦点F（0，1），
∴抛物线C₁：x²=4y，准线方程为y=-1．
设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|
∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，
当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为1-（-1）=2．
故答案为2．