（2014•天津一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为82．（1）求椭圆的方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点

Question

（2014•天津一模）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(2))/(2)，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为8√(2)．
（1）求椭圆的方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若k_AC•k_BD=-(1)/(2)．
①求

OA

•

OB

的范围；
②求四边形ABCD的面积．

Answer 1

（1）由已知可得：(c)/(a)＝(√(2))/(2)，(1)/(2)•2a•2b＝8√(2)，c2+b2＝a2，
于是c=2，b=2，a²=8，
∴椭圆的方程为(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1．
（2）当直线AB的斜率不存在时，

OA

•

OB

=2，∴

OA

•

OB

的最大值为2．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

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