已知点D（0，-2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为32的椭圆x2a2+

Question

已知点D（0，-2），过点D作抛物线C ₁ ：x ² =2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为 (3)/(2) 的椭圆 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1(a＞b＞0) 恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k ₁ ，k ₂ ，若k ₁ +2k ₂ =4k，求椭圆方程．

Answer 1

（Ⅰ）设切点A（x ₀ ，y ₀ ），且 y 0 =(x02)/(2p) ，
由切线l的斜率为 k=(x0)/(p) ，得l的方程为 y=(x0)/(p) x-(x02)/(2p) ，又点D（0，-2）在l上，
∴ (x02)/(2p) =2 ，即点A的纵坐标y ₀ =2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 A(-2

p

，2) ，切线斜率 k=-(2)/(p) ，
设B（x ₁ ，y ₁ ），切线方程为y=kx-2，由 e=(3)/(2) ，得a ² =4b ² ，…（7分）
所以椭圆方程为 (x2)/(4 b2) +(y2)/(b2) =1 ，且过 A(-2

p

，2) ，∴b ² =p+4…（9分）
由

y=kx-2

x 2 +4 y 2 =4 b 2

⇒(1+4 k 2 ) x 2 -16kx+16-4 b 2 =0 ，∴

x 0 + x 1 =(16k)/(1+4 k2)

x 0 x 1 =(16-4 b2)/(1+4 k2)

，…（11分） k 1 +2 k 2 =(y0)/(x0) +(2 y1)/(x1) =(x1 y0 +2 x0 y1)/(x0 x1) =(x1 (k x0 -2)+2 x0 (k x1 -2))/(x0 x1) =3k-(2 x1 +4 x0)/(x0 x1)
= 3k-(2( x1 + x0 )+2 x0)/(x0 x1) =3k-((32k)/(1+4 k2)-4p)/((16-4 b2)/(1+4 k2)) =3k-(32k-4p(1+4 k2 ))/(16-4 b2) =4k
将 k=-(2)/(p) ，b ² =p+4代入得：p=32，所以b ² =36，a ² =144，
椭圆方程为 (x2)/(144) +(y2)/(36) =1 ．…（15分）