（2010•西城区一模）椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若

Question

（2010•西城区一模）椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1 (a＞b＞0)的离心率为(√(3))/(2)，长轴端点与短轴端点间的距离为√(5)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．

Answer 1

（Ⅰ）由已知(c)/(a)＝(√(3))/(2)，a²+b²=5，
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
所以椭圆C的方程为(x2)/(4)+y2＝1；
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，
联立，

(x2)/(4)+y2＝1 

y＝kx+4

，消去y得（1+4k²）x²+32kx+60=0，
△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
令△＞0，解得k2＞(15)/(4)．
设E，F两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）当∠EOF为直角时，
则x1+x2＝−(32k)/(1+4k2) ， x1x2＝(60)/(1+4k2)，
因为∠EOF为直角，所以

OE

•

OF

＝0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=0，
所以

15×(1+k

作业帮用户 2017-09-18

问题解析

（Ⅰ）由已知(c)/(a)＝(√(3))/(2)，a²+b²=5，由此能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，

(x2)/(4)+y2＝1 

y＝kx+4

，再由根与系数的关系求解．

名师点评

本题考点：

椭圆的应用．

考点点评：

本题是椭圆问题的综合题，解题时要认真审题，仔细解答．

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