已知椭圆方程为X＾2／4＋Y＾2/3＝1,A（1,3/2）为椭圆上一定点,E,F是椭圆上两个动点若直线AF与AE的斜率互为相反数,证明直线EF斜率为定值.

Question

已知椭圆方程为X＾2／4＋Y＾2/3＝1,A（1,3/2）为椭圆上一定点 ,E,F是椭圆上两个动点
若直线AF与AE的斜率互为相反数,证明直线EF斜率为定值.

Answer 1

设AE斜率为k,则AF的斜率为-k
（1）k=0,E和F重合,不合题意,所以k≠0
（2）椭圆方程：3x²+4y²=12
设直线AE：y-3/2=k(x-1)即y=k(x-1)+3/2
直线AF：y-3/2=-k(x-1)即y=-k(x-1)+3/2
直线AE方程代入椭圆方程并化简：
(3+4k²)x²-(8k²-12k)x+4k²-12k-3=0
韦达定理：x1×x2=(4k²-12k-3)/(4k²+3)
因为点A的横坐标为1
所以点E的横坐标(4k²-12k-3)/(4k²+3),纵坐标(-12k²-6k)/(4k²+3)+3/2
同理直线AF代入椭圆,化简：
(3+4k²)x²-(8k²+12k)x+4k²+12k-3=0
x1×x2=(4k²+12k-3)/(4k²+3)
所以点F的横坐标(4k²+12k-3)/(4k²+3),纵坐标(-12k²+6k)/(4k²+3)+3/2
EF斜率
=[(-12k²-6k)/(4k²+3)+3/2-(-12k²+6k)/(4k²+3)+3/2]/[(4k²-12k-3)/(4k²+3)-(4k²+12k-3)/(4k²+3)]
=[-12k²-6k+12k²-6k]/[4k²-12k-3-4k²-12k+3]
=(-12k)/(-24k)
=1/2
证毕