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已知椭圆方程为X^2/4+Y^2/3=1,A(1,3/2)为椭圆上一定点,E,F是椭圆上两个动点若直线AF与AE的斜率互为相反数,证明直线EF斜率为定值.

题目详情
已知椭圆方程为X^2/4+Y^2/3=1,A(1,3/2)为椭圆上一定点 ,E,F是椭圆上两个动点
若直线AF与AE的斜率互为相反数,证明直线EF斜率为定值.
▼优质解答
答案和解析
设AE斜率为k,则AF的斜率为-k
(1)k=0,E和F重合,不合题意,所以k≠0
(2)椭圆方程:3x²+4y²=12
设直线AE:y-3/2=k(x-1)即y=k(x-1)+3/2
直线AF:y-3/2=-k(x-1)即y=-k(x-1)+3/2
直线AE方程代入椭圆方程并化简:
(3+4k²)x²-(8k²-12k)x+4k²-12k-3=0
韦达定理:x1×x2=(4k²-12k-3)/(4k²+3)
因为点A的横坐标为1
所以点E的横坐标(4k²-12k-3)/(4k²+3),纵坐标(-12k²-6k)/(4k²+3)+3/2
同理直线AF代入椭圆,化简:
(3+4k²)x²-(8k²+12k)x+4k²+12k-3=0
x1×x2=(4k²+12k-3)/(4k²+3)
所以点F的横坐标(4k²+12k-3)/(4k²+3),纵坐标(-12k²+6k)/(4k²+3)+3/2
EF斜率
=[(-12k²-6k)/(4k²+3)+3/2-(-12k²+6k)/(4k²+3)+3/2]/[(4k²-12k-3)/(4k²+3)-(4k²+12k-3)/(4k²+3)]
=[-12k²-6k+12k²-6k]/[4k²-12k-3-4k²-12k+3]
=(-12k)/(-24k)
=1/2
证毕