圆(x-1)^2+y^2=1含于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1内,问a,b取何值时,椭圆面积最小

Question

圆(x-1)^2+y^2=1含于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1内,问a,b取何值时,椭圆面积最小

Answer 1

设点坐标,利用均值不等式求解.（该题是高数,超出高考要求）
设椭圆上任一点P（acosθ,bsinθ）（θ为0到90度即可）,圆心为E（1,0）的圆内切于椭圆,即求椭圆上任一点P到点E距离最小值为1.
两点距离公式求得PE^2=（a^2-b^2）cosθ^2-2acosθ+b^2+1=y,二次函数方法求得y最小值,由y最小值=1整理可得b^4-a^2b^2+a^2=0,利用三项均值不等式得ab最小值为2分之3倍根号3（当且仅当a=根号2倍b取等号）.
椭圆面积S=πab,所以S最小值为π*2分之3倍根号3.
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