（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=−12x2+bx+c的图象过点E（-1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2

Question

（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−(1)/(3)x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=−(1)/(2)x²+bx+c的图象过点E（-1，0），并与直线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）直线解析式为y=−(1)/(3)x+2，令x=0，则y=2，
∴A（0，2），
∵抛物线y=−(1)/(2)x²+bx+c的图象过点A（0，2），E（-1，0），
∴

2＝c

0＝−(1)/(2)−b+c

，
解得

b＝(3)/(2)

c＝2

．
∴抛物线的解析式为：y=−(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2．

（2）∵直线y=−(1)/(3)x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，
∴P（6，0），A（0，2），
∴OP=6，OA=2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∠OAC=∠OPA，
∴(OC)/(OA)＝(OA)/(OP)，
∴OC=(OA2)/(OP)＝(22)/(6)＝(2)/(3)，
又C点在x轴负半轴上，
∴点C的坐标为C（−(2)/(3)，0）．

（3）抛物线y=−(1)/(2)x²+(3)/(2)x+2与直线y=