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如图所示,一质量M=1.0kg的砂摆,用长度为L=10m的轻绳悬于天花板上O点.另有一玩具枪放置在砂摆最低点附近,且能连续发射质量m=0.2kg、速度v=4.0m/s的小钢珠.现将砂摆拉离平衡位置,由高h=0
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(1)求小钢珠射入砂摆前的瞬间,砂摆的速度大小v0;
(2)求小钢珠射入砂摆后的瞬间,砂摆的速度大小v1;
(3)若要求每次砂摆摆到最低点时射入一颗小钢珠,求玩具枪的发射时间间隔.
(忽略小钢珠空中运动时间,已知cos10°=0.985)
▼优质解答
答案和解析
(1)砂摆从释放到最低点,由动能定理:Mgh=
Mv02-0,
解得:v0=
=2m/s;
(2)小钢球打入砂摆过程系统动量守恒,选向右为正方向,由动量守恒定律得:
Mv0-mv=(M+m)v1,
解得:v1=
≈1.94m/s;
(3)第2颗小钢球打入过程,选向左为正方向,由动量守恒定律得:
(M+m)v1+mv=(M+2m)v2,
第3颗小钢球打入过程,同理可得:
(M+2m)v2+mv═(M+3m)v3,
…
第n颗小钢球打入过程,同理可得:
[M+(n-1)m]vn-1+mv=(M+nm)vn,
联立各式得:(M+m)v1+(n-1)mv=(M+nm)vn,
解得:vn=
,
当第n颗小钢球射入后,砂摆要能达到初始释放的位置,
砂摆速度满足:vn≥v0,
解得:n≥
=4,
所以,当第4颗小钢球射入砂摆后,砂摆能达到初始释放的高度.
答:(1)第一颗小钢珠射入砂摆前的瞬间,砂摆的速度为2m/s.
(2)第一颗小钢珠射入砂摆后的瞬间,砂摆的速度大小为1.94m/s.
(3)当第4颗小钢球射入砂摆后,砂摆能达到初始释放的高度.
1 |
2 |
解得:v0=
2hg |
(2)小钢球打入砂摆过程系统动量守恒,选向右为正方向,由动量守恒定律得:
Mv0-mv=(M+m)v1,
解得:v1=
Mv0−mv |
M+m |
(3)第2颗小钢球打入过程,选向左为正方向,由动量守恒定律得:
(M+m)v1+mv=(M+2m)v2,
第3颗小钢球打入过程,同理可得:
(M+2m)v2+mv═(M+3m)v3,
…
第n颗小钢球打入过程,同理可得:
[M+(n-1)m]vn-1+mv=(M+nm)vn,
联立各式得:(M+m)v1+(n-1)mv=(M+nm)vn,
解得:vn=
(M+m)v1+(n−1)mv |
M+nm |
当第n颗小钢球射入后,砂摆要能达到初始释放的位置,
砂摆速度满足:vn≥v0,
解得:n≥
(M+m)v1−mv−Mv0 |
m(v0−v) |
所以,当第4颗小钢球射入砂摆后,砂摆能达到初始释放的高度.
答:(1)第一颗小钢珠射入砂摆前的瞬间,砂摆的速度为2m/s.
(2)第一颗小钢珠射入砂摆后的瞬间,砂摆的速度大小为1.94m/s.
(3)当第4颗小钢球射入砂摆后,砂摆能达到初始释放的高度.
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