已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标的两个交点B、C(1)求抛物线解析式.(2)求抛物线顶点坐标(3)若M点在第四象限内抛物线上,且OM垂直BC,垂足为D,求点M坐标.

Question

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标的两个交点B、C
(1)求抛物线解析式.
(2)求抛物线顶点坐标
(3)若M点在第四象限内抛物线上,且OM垂直BC,垂足为D,求点M坐标.

Answer 1

直线y=x-3与坐标的两个交点为：
0=x-3,x=3
y=0-3,y=-3
所以这两个点为(3,0)和(0,-3)
将A、B、C三点坐标代入函数得：
0=a*3^2+3b+c
-3=c
0=a*(-1)^2-b+c
容易解得a=1,b=-2,c=-3
所以抛物线y=x^2-2x-3
写成顶点式为y=(x-1)^2-4
所以顶点坐标为(1,-4)
因为B、C所在的直线为y=x-3,而此直线的斜率为1,那么与之垂直的直线斜率为-1,因为过O点,那么垂线方程为y=-x
那么解方程组：
y=x^2-2x-3
y=-x
易得x=(1+根号13)/2（因为在第四象限,所以另有一负值舍去.）y=-(1+根号13)/2
所以M点的坐标为[(1+根号13)/2,-(1+根号13)/2]