y=xy'+y'^2用伯努利方程解,

Question

y=xy'+y'^2 用伯努利方程解,

Answer 1

令y'=p,则y=xp+p².(1)
令f(x,p)=xp+p²
∵αf(x,p)/αx=p (αf(x,p)/αx表示关于x的偏导数,其它类同)
αf(x,p)/αp=x+2p
∴代入公式[p-αf(x,p)/αx]dx-(αf(x,p)/αp)dp=0
得(p-p)dx-(x+2p)dp=0
==>(x+2p)dp=0
==>x+2p=0,或dp=0
==>p=-x/2,或p=C (C是积分常数)
∴把它们代入(1)式,得y=-x²/4,或y=Cx+C²
故原微分方程的通解是y=-x²/4和y=Cx+C² (C是积分常数).