设正项级数∞n＝1ln(1+an)收敛，则级数∞n＝1(−1)nanan+1的敛散性为．

Question

设正项级数

∞

n＝1

ln(1+an)收敛，则级数

∞

n＝1

(−1)n√(anan+1)的敛散性为______．

Answer 1

因为正项级数

∞

n＝1

ln(1+an)收敛，
所以a_n＞0且a_n→0（n→∞）．
又因为

lim

n→∞

(ln(1+an))/(an)＝1，
所以正项级数

∞

n＝1

an与

∞

n＝1

ln(1+an)有相同的敛散性，
从而

∞

n＝1

an收敛，且

∞

n＝1

an+1也收敛．
又因为|(−1)n√(anan+1)|＝√(anan+1)≤(1)/(2)(an+an+1)，
且级数

∞

n＝1

(an+an+1)收敛，
所以，由比较判别法，
级数

∞

n＝1

(−1)n√(anan+1)绝对收敛．
故答案为：绝对收敛．