一道关于幂级数的题题目是判断下面这个正项级数的敛散性∑1/[(n^p)*lnn](n=2→∞)(分母即是n的p次方和n的自然对数的乘积n大于等于2且趋于无穷)以下是正确解答不过其中我有些不明白的地

Question

一道关于幂级数的题
题目是判断下面这个正项级数的敛散性
∑1/[(n^p)*lnn] (n=2→∞) (分母即是n的p次方和n的自然对数的乘积 n大于等于2且趋于无穷)
以下是正确解答 不过其中我有些不明白的地方
当p>1时 因1/[(n^p)*lnn] lnln（n+1）- lnln2 这表明级数 ∑1/（n*lnn）（n=2→∞）的部分和Sn无界 即级数∑1/（n*lnn）（n=2→∞）发散
综合得 当p>1时原级数收敛 当p《1时原级数发散
我的疑惑是 第一 当p>1时 为什么1/[(n^p)*lnn] ∫dx/（xlnx）这个不等式来解答的?还有
1/（2ln2）+ 1/（3ln3） + 1/（4ln4）+ ...+ 1/（nlnn）> lnln（n+1）- lnln2 为什么不等式的右端第二项是lnln2而不是积分得出的lnlnn呢?

Answer 1

第一题中,1/ln2 是大于1的 ,1/[(n^p)*lnn]是应该大于1/(n^p),但只有n=2时,考察其收敛性,则重点考察无穷时的情况,n=2时肯定收敛,答案中是没给清楚.
由于n只能为正整数,积分,求导之类的都不能运用,这是这类整数求和、极限之类题目经常运用的方法,就是将其限定于两整数之间,利用x的连续性来计算其极限,积分的值,再给出其的范围.
1/（n*lnn）> ∫dx/（xlnx）,积分上限是ln（n+1） 下限为lnn,1/（2ln2）+ 1/（3ln3） + 1/（4ln4）+ ...+ 1/（nlnn）> lnln（n+1）- lnlnn+ lnlnn-lnln（n-1）+...+lnln3-lnln2.最后一项就是 lnln2
关于1/（n*lnn）> ∫dx/（xlnx）积分上限是ln（n+1） 下限为lnn,根据微分中值定理,在（n,n+1）中,必有一t,使∫dx/（xlnx）积分上限是ln（n+1） 下限为lnn 等于 1/（t*lnt）*（n+1—n）（积分上限减去积分下限,即f（x）面积）,即1/（t*lnt）,而函数1/（x*lnx）是一单调递减函数,于是1/（n*lnn）> ∫dx/（xlnx）积分上限是ln（n+1） 下限为lnn> 1/（（n+1）*ln（n+1））