在平面直角坐标系中,An(n,an),Bn(n,bn),Cn(n-1,0)(n是N*)满足向量AnAn+1与向量BnCn共线,且点Bn(n,bn)都在斜率为6的同一条直线上（1）若a1=3,b1=9,求 ①bn ②an

Question

在平面直角坐标系中,An(n,an),Bn(n,bn),Cn(n-1,0)(n是N*)满足向量AnAn+1与向量BnCn共线,且点Bn(n,bn)都在斜率为6的同一条直线上
（1）若a1=3,b1=9,求 ①bn ②an

Answer 1

由题意点Bn(n,bn)都在斜率为6的同一条直线上,
则设此直线为y＝6x+b
当n＝1时,b1＝9,即点B1(1,9）在上述直线上,将坐标代入方程得b=3
即直线方程为y=6x+3
又点Bn(n,bn)也在此直线上,将对应坐标代入可得：
bn=6n+3 ①
又由已知可得：
向量AnA(n+1)=(1,a(n+1)-an ),BnCn=(-1,-bn)
因为向量AnA(n+1)与向量BnCn共线
所以：[a(n+1)-an]/(-bn)=1/(-1)=-1
则a(n+1)-an=bn=6n+3
易知数列{bn}是以6为公差,首项为9的等差数列,对其求前n项和,有
Sn=9*n+n*(n-1)*6/2=3n²+6n
又Sn=b1+b2+b3+...+bn
=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+...+(a(n-2）-a(n-1) )+(an-a(n-1) )
=an-a1
所以an-a1=3n²+6n
因为a1=3
所以an＝3n²+6n+3