已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

Question

已知函数f（x）=x²+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（　　）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

Answer 1

f（x）的对称轴为x=-(b)/(2)，f_min（x）=-(b2)/(4)．
（1）若b<0，则-(b)/(2)>-(b2)/(4)，∴当f（x）=-(b)/(2)时，f（f（x））取得最小值f（-(b)/(2)）=-(b2)/(4)，
即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．
∴“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．
（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，
则f_min（x）≤-(b)/(2)，即-(b2)/(4)≤-(b)/(2)，解得b≤0或b≥2．
∴“b<0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．
故选A．